Плазма та магнітогідродинаміка

1. Що таке плазма: іонізований газ

Плазма виникає, коли газ нагрівається настільки, що електрони відриваються від атомів: виникає суміш вільних електронів та іонів. Ключові параметри:

Дебаєвська довжина — відстань, на якій електричні поля екрануються. За межами цього радіуса плазма квазінейтральна: n_e ≈ n_i. У сонячній короні λ_D ~ 10⁻² м, у лабораторній плазмі ~ 10⁻⁴ м.

2. Сила Лоренца та рух заряджених частинок

На заряд q у електричному та магнітному полі діє сила Лоренца:

Ларморівський оберт

У однорідному магнітному полі B = B_zẑ частинка рухається по кола (у площині xy) і прямолінійно вздовж z. Ціклотронна (ларморівська) частота та радіус:

E×B дрейф

При наявності обох полів частинка дрейфує перпендикулярно до E і B:

3. Рівняння МГД

МГД описує плазму як ідеальну або резистивну провідну рідину. Одна рідина (single-fluid MHD) — спрощена модель де нема розрізнення електронів та іонів. Рівняння:

Для ідеальної МГД η = 0: поле вморожене у рідину ("frozen-in flux theorem"). Магнітні силові лінії рухаються разом з плазмою — це фундаментальна властивість.

Рівняння тиску/енергії

Параметр β = p/p_B = 2μ₀p/B² визначає режим: β ≪ 1 — магнітно домінований (корона, тонкий диск); β ~ 1 — MHD; β ≫ 1 — гідродинамічний.

4. Пінч-ефект та магнітне обмеження

Пінч (Z-pinch) — мабуть найпростіша МГД конфігурація. Через плазму тече струм J_z, що породжує азимутальне поле B_φ. Сила Амперa J × B спрямована до осі — плазма стискається. Рівновага:

Нестабільності пінча

5. Нестабільність Рейлі-Тейлора у плазмі

Нестабільність Рейлі-Тейлора (RT) виникає коли важча рідина знаходиться над легшою в полі гравітації — або в МГД коли щільна плазма тримається над розрідженою з допомогою магнітного поля.

Дисперсійне співвідношення

Магнітне поле стабілізує короткохвильові збурення, але довгохвильові (k < k_c) залишаються нестабільними. У лазерно-індукованому синтезі RT-нестабільність — головна перешкода рівномірного стиснення мішені.

Магнітне перез'єднання (reconnection)

Якщо дві антипаралельні конфігурації поля зближуються, тонкий шар де B ≈ 0 (current sheet) може розірватися — поле перебудовується ("перез'єднується"), виділяючи колосальну кінетичну та теплову енергію. Сонячні спалахи — саме це явище в масштабі ~10⁹ м.

6. Альфвенові хвилі

Альфвенова хвиля — МГД-аналог хвилі на натягнутому шнурі. Магнітна сила натягу B²/μ₀ виступає "пружиною", ρ — "масою" одиниці довжини. Швидкість хвилі:

Типи МГД хвиль

Альфвенові хвилі нагрівають сонячну корону, переносять енергію від конвективної зони до корони, беруть участь у прискоренні сонячного вітру.

7. Сонячний вітер та магнітосфера Землі

Паркер (1958) показав: гаряча сонячна корона не може перебувати в рівновазі з міжзоряним простором — вона повинна розширюватись. Розв'язок рівнянь МГД через критичну точку r_c = GM_⊙/(2c_s²):

Взаємодія з магнітосферою

Сонячний вітер натикається на геомагнітне поле і утворює: bow shock на відстані ~14 R_⊕, де вітер гальмується; magnetopause — межу магнітосфери де тиск вітру = тиск поля; magnetotail — хвіст у нічному боці довжиною ~100 R_⊕.

8. Проста МГД симуляція: JS реалізація

Реалізуємо 2D ідеальну МГД на явній FD-схемі (Lax-Friedrichs). Стан системи: (ρ, v_x, v_y, B_x, B_y, p) у кожному вузлі сітки.

class MHD2D {
  constructor(Nx, Ny, dx = 1, dy = 1) {
    this.Nx = Nx; this.Ny = Ny;
    this.dx = dx; this.dy = dy;
    this.gamma = 5 / 3;
    const N = Nx * Ny;
    this.rho = new Float64Array(N).fill(1); // щільність
    this.vx  = new Float64Array(N);
    this.vy  = new Float64Array(N);
    this.Bx  = new Float64Array(N);
    this.By  = new Float64Array(N);
    this.p   = new Float64Array(N).fill(1); // тиск
  }

  alfvenSpeed(i, j) {
    const k = i * this.Ny + j;
    const B2 = this.Bx[k]**2 + this.By[k]**2;
    return Math.sqrt(B2 / this.rho[k]); // μ₀ = 1 in code units
  }

  cflTimestep() {
    let maxSpeed = 0;
    for (let i = 0; i < this.Nx; i++) {
      for (let j = 0; j < this.Ny; j++) {
        const k = i * this.Ny + j;
        const cs = Math.sqrt(this.gamma * this.p[k] / this.rho[k]);
        const va = this.alfvenSpeed(i, j);
        const v  = Math.hypot(this.vx[k], this.vy[k]);
        maxSpeed = Math.max(maxSpeed, v + cs + va);
      }
    }
    return 0.4 * Math.min(this.dx, this.dy) / maxSpeed; // CFL = 0.4
  }

  initOrzagTang() {
    // Класичний тест: Orszag-Tang vortex
    const { Nx, Ny } = this;
    for (let i = 0; i < Nx; i++) {
      for (let j = 0; j < Ny; j++) {
        const k = i * Ny + j;
        const x = 2 * Math.PI * i / Nx;
        const y = 2 * Math.PI * j / Ny;
        this.rho[k] = 25 / (36 * Math.PI);
        this.vx[k] = -Math.sin(y);
        this.vy[k]  = Math.sin(x);
        this.Bx[k] = -Math.sin(y) / (4 * Math.PI);
        this.By[k]  = Math.sin(2 * x) / (4 * Math.PI);
        this.p[k]  = 5 / (12 * Math.PI);
      }
    }
  }
}

Візуалізація: колірна карта щільності + стрілки B

function renderMHD(canvas, mhd) {
  const ctx = canvas.getContext('2d');
  const img = ctx.createImageData(mhd.Nx, mhd.Ny);
  const maxRho = Math.max(...mhd.rho);
  const minRho = Math.min(...mhd.rho);

  for (let i = 0; i < mhd.Nx; i++) {
    for (let j = 0; j < mhd.Ny; j++) {
      const k = i * mhd.Ny + j;
      const t = (mhd.rho[k] - minRho) / (maxRho - minRho);
      const px = (j * mhd.Nx + i) * 4;
      img.data[px]   = lerp(10, 255, t);   // R: синій→гарячий
      img.data[px+1] = lerp(10, 80, t);
      img.data[px+2] = lerp(180, 10, t);
      img.data[px+3] = 255;
    }
  }
  ctx.putImageData(img, 0, 0);
}