🌿 IFS Фрактали — Ітераційні системи функцій
Ітераційна система функцій (IFS) — скінченний набір стискуючих афінних відображень. Алгоритм гри хаосу — починаємо з довільної точки, багатократно застосовуємо випадково обране відображення з відповідною ймовірністю — розкриває атрактор IFS: фрактал, самоподібна структура якого виникає з чистої ітерації. Папороть Барнслі використовує лише 4 відображення із ретельно підібраними ймовірностями, щоб відтворити фотореалістичний лист.
Готові IFS
Рендеринг
Статистика
x₀ — довільна точка
xₙ₊₁ = Wᵢ(xₙ)
де i ~ p(Wᵢ)
Афінне відображення:
W(x,y) = [a b; c d][x;y] + [e;f]
Про ітераційні системи функцій
Теорема про колаж (Барнслі та Демко, 1986) гарантує, що будь-яка IFS зі стискуючими відображеннями має єдиний компактний атрактор A, що задовольняє A = ∪ Wᵢ(A). Розмірність Хаусдорфа атрактора можна оцінити за коефіцієнтами стискання. IFS стали основою фрактального стискання зображень: будь-яке зображення може бути наближене атрактором відповідної IFS. Гра хаосу збігається до атрактора незалежно від початкової точки — наслідок теореми Банаха про нерухому точку.