📈 Хаос у популяційній динаміці — Логістична карта
Логістична карта xn+1 = r·xₙ·(1−xₙ) моделює ріст популяції з обмеженими ресурсами. При малих r популяція досягає нерухомої точки; зі збільшенням r відбувається каскад подвоєння периоду — 1 → 2 → 4 → 8 → … нерухомих точок — доки близько r ≈ 3.57 не настає хаос. Відношення послідовних подвоєнь сходиться до константи Фейгенбаума δ ≈ 4.669. Діаграма біфуркацій (вгорі) розкриває всю цю структуру; часовий ряд (внизу) показує окремі траєкторії.
Огляд
Часовий ряд
Статистика
xₙ₊₁ = r·xₙ·(1−xₙ)
Показник Ляпунова:
λ = (1/N)·Σ ln|r(1−2xₙ)|
λ < 0 → стабільний
λ = 0 → подвоєння
λ > 0 → хаос
δ = 4.6692… (Фейгенбаум)
Шлях до хаосу
Популяційні моделі стали одними з перших систем, де було чітко продемонстровано детермінований хаос. Стаття Роберта Мея 1976 року показала, що проста логістична рекурентність — призначена для моделювання динаміки популяцій комах — породжує складність, що суперничає з суто випадковими процесами. Константи Фейгенбаума (δ ≈ 4.669 та α ≈ 2.502) є універсальними: вони з'являються в кожному одновимірному відображенні з квадратичним максимумом, від логістичної карти до реальних експериментів з конвекцією рідини та лазерною фізикою. Ця універсальність пояснюється теорією ренормалізаційної групи Фейгенбаума (1978).