🌊 Квантовий хвильовий пакет

Гауссів хвильовий пакет — суперпозиція плоских хвиль exp(ikx), зважена гауссіаном у просторі імпульсів: ψ(x,0) = exp(ik₀x)·exp(−x²/(4σ₀²)). У вільній частинці з дисперсійним співвідношенням ω(k) = ħk²/(2m), різні частотні компоненти рухаються з різними фазовими швидкостями, викликаючи розширення пакету з часом. Центр пакету рухається зі груповою швидкістю v_g = ħk₀/m, тоді як гребені хвиль — з фазовою швидкістю v_φ = ħk₀/(2m). Принцип Гейзенберга: Δx·Δp ≥ ħ/2. 🇬🇧 English

Початкові умови

k₀ (центральний хвилевектор) 8 σ₀ (початкова ширина) 0.10 Маса m (о.а.) 1.0

Відображення

Групова шв. v_g—

Фазова шв. v_φ—

⟨x⟩—

σ_x (ширина)—

Δx·Δp—

Час t—

Як працює дисперсія

Точний аналітичний розв'язок для вільної частинки: пакет розширюється як σ(t) = σ₀·√(1 + (ħt/(2mσ₀²))²), а його центр рухається як ⟨x⟩(t) = x₀ + (ħk₀/m)t. Щільність імовірності |ψ|² залишається гауссіаном у будь-який момент. Мінімальний добуток невизначеностей Δx·Δp = ħ/2 досягається лише при t=0; з часом він зростає через розширення пакету. Це суто квантово-механічний ефект без класичного аналогу — відображення хвильової природи матерії (співвідношення де Бройля λ = h/p).