∫

Інтеграл Рімана

∫ f(x) dx = lim(N→∞) Σ f(xᵢ)·Δx — площа під кривою як границя прямокутних сум

Математика Аналіз Чисельні Методи Збіжність
Функція:
Метод:
N = 10 Сума Рімана ≈ — Точний ∫ = — Похибка = — Δx = —

∫ Інтеграл Рімана

Визначений інтеграл визначається як границя сум Рімана: ∫ₐᵇ f(x) dx = lim(N→∞) Σᵢ f(x*ᵢ)·Δx де Δx = (b−a)/N, а x*ᵢ — точка вибору в i-му підінтервалі.

Чотири класичні методи наближення:

  • Лівий: x*ᵢ = a + i·Δx — ліве значення прямокутника. Похибка O(Δx).
  • Правий: x*ᵢ = a + (i+1)·Δx — праве значення. Теж O(Δx).
  • Середня точка: x*ᵢ = a + (i+½)·Δx — точніший метод, похибка O(Δx²).
  • Трапеція: ½(f(xᵢ)+f(xᵢ₊₁))·Δx — з'єднує верхні кути лінією. Похибка O(Δx²).

Оцінка похибки: |Похибка| ≤ M·(b−a)³/(12N²) — для середньої точки та трапецій (M = max|f″|). Метод Сімпсона (формула 3/8): S = (2·Середня + Трапеція) / 3 — похибка O(Δx⁴).